За 13 часов вы успеете увидеть самое главное - Собор святой Софии (теперь мечеть, зато бесплатно), Голубую мечеть, Топкапы, парк Гюльхане (в это время там цветут тюльпаны, очень красиво). В том же районе есть ещё несколько отличных музеев, 4 (уже 4) цистерны, смотровая площадка, куча кафе и ресторанов - буквально на каждом шагу. Но нужно проверять, работают ли в понедельник туробъекты - у многих, которые в ведении Минкультуры, понедельник как раз выходной. У магазинов в понедельник рабочий день, но вы в них вряд ли успеете при таком тайминге:) Или успеете, но в ущерб достопримечательностям. Тут на ваш выбор.
По транспорту. Из Нового аэропорта до Кягытхане протянули ветку метро M11, да, но это частичное открытие, то есть вам, чтоб добраться до Султанахмета, придётся делать много пересадок.
Я бы воспользовалась аэропортовским автобусом-шаттлом Хаваист (Havaist), стоит 87 лир (цена на конец марта 2023), доедете до площади Таксим без пересадок за час. Там зайдёте в метро, но не идите к поездам, а ищите фуникулёр на Кабаташ. На нём за 5 минут спускаетесь к трамваю Т1. Он за 15 минут довезёт вас прямо к площади Султанахмет. Тут тоже пересадки, но окажетесь прямо на месте.
Наличкой в транспорте вы не рассчитаетесь, нужно покупать карту Истанбулкарт, это несложно (и можно одну на двоих), в автоматах в метро, например. Вот тут у нас пользователи писали об этом:
https://www.tourister.ru/... Ну и самый простой способ, - доехать из/в аэропорт на такси. В марте такая поездка стоила 250-300 лир. Работает Убер и Киви.Такси. Лучше с приложением такси выбирайте и смотрите чтоб водитель счётчик обнулил при посадке.
Подробнее о том, как добраться из аэропорта, у нас есть целая статья:
https://www.tourister.ru/... Доллары на лиры нужно поменять, да. Можно и в аэропорту, но не в самом зале прилёта, а уже перед самым выходом из терминала, - из-за разницы в курсах.
Хорошей вам поездки :)