Всё зависит от Вашего билета. Если оба рейса в одном билете и одной авиакомпанией, то багаж будете получать в конечном пункте. В данном случае на Пхукете.
А вот если авиакомпании разные, то получать багаж Вам в Сингапуре придётся.
Во всяком случае точно это узнаете, когда багаж будете сдавать. По бирке. Там будет указано место получения. В смысле код аэропорта...
А наличие камер хранения, расположение и их стоимость поищите на сайте аэропорта Чанги. Наверняка всё указано.