До Картахены ходят поезда; из Мадрида поезд идёт приблизительно 5 часов, билет в оба конца стоит 50 или 80 евро (если хотите ехать первым классом). Счастливой поездки! www.gid-barcelona.com
В январе мы с дочерью ночевали в отеле, расположенном в одной станции метро от аэропорта. В букинге есть несколько примерно одинаковых отелей по 50-60 евро. Такси стоит 12-18 евро. В отзыве про Тенериф подробно.